Om man saknar fyra kort i en färg är de fördelade (avrundat en aning slarvigt till heltal men det spelar ingen roll för principfrågan) enligt: 3-1/1-3 = 50% (8 sitsar); 2-2 = 40% (6 sitsar); 4-0/0-4 =10% (2 sitsar).
Om jag spelar ett stick och båda bekänner kan vi utesluta 4-0. Resterande sitsar ha nu ändå det sammanlagda oddset 100%. Jag undrar om denna kunskap ändrar förhållandet sinsmellan 2-2 och 3-1, eller är det fortfarande detsamma?
Har de 10% ”delats ut” jämnt så att 3-1 är 55% och 2-2 45% eller ….
har de utökat oddsen i förhållande till sin orginalstorlek, dvs är läget nu 55,5 vs 44,4 (avrundningsfel). Har 3-1 ökat 5/9 och 2-2 4/9 (= deras ursprungliga förhållande)?
Vem hjälper oss förstå logiken i det rätta svaret, som kanske varken är det ena eller andra av ovanstående?
Sidor
Svaret på din fråga beror faktiskt på vilka kort som saknas:
Saknar du 5-4-3-2 så kan vi låtsas att båda motspelarna sakar slumpmässigt, och då kan vi ställa upp kvarvarande händer och räkna dessa.
Saknar vi Q-4-3-2 så kan vi räkna med att damen inte läggs med samma frekvens som de övriga hackorna, och då måste vi kompencera för detta. Samma sak om vi saknar T-8-5-2, de lär inte sakas slumpmässigt.
Slutligen kan det vara bra att känna till om motståndarna brukar längdmarkera eller ej i dessa lägen.
Sidor
Procenten räknar du ut som antal sitsar med det aktuella utfallet delat med totala antalet möjliga sitsar.
Innan du spelat färgen blir det: 8/16=50%, 6/16=37,5%, 2/16=12,5%
Efter du konstaterat att sista fördelningen (4-0/0-4) inte är aktuell har vi kvar totalt 4 möjliga sitsar pga de kort som visats.
Vid 3-1/1-3 vet vi ju ett kort på vardera handen så återstår endast 2 möjliga kortsitsar (de två återstående korten till vänster eller till höger) sitter det 2-2 är det också 2 möjliga sitsar kvar (de har varsitt kort).
Så nu är det istället 50/50 mellan 3-1/1-3 eller 2-2.
Fördelningen mellan alternativen är inte längre densamma.
Halvvägs genom nästa stick är det fortfarande 50/50 om MTV följde färg (återstående kortet kan fortfarande sitta på båda händerna), sakade/stal MTV vet vi ju 100% det satt 1-3.
Att du vet vilket kort respektive hand spelat förändrar beräkningen.
Innan kunde respektive hand sitta singel med vilket som av de fyra korten, efter kan de bara sitta singel med just det kort de spelat.
Sedan kan det spelade kortet från respektive hand ge ytterligare ledtrådar. Har du slagit en mask mot K-J och MTH vinner med A eller lägger lågt kan du nästan säkert räkna bort att MTH också har Q (om det är trumfspel).
Då är det fortfarande 50/50 om du själv hade A (Q hos MTV och hacka hos MTH (2-2) eller båda korten hos MTV (3-1)) medan du nästan säkert kan säga det satt 3-1 om du saknar både A & Q (båda hos MTV)
Fast spelar ni sang kan det vara att MTH håller upp en gång (dvs 1-3 fortfarande möjligt).
Och som Ola säger kan även markeringar ge ledtråd.
Vill du experimentera kan du skriva upp alla möjliga fördelningar av fyra kort på två händer. Sedan väljer du ett kort spelat från MTV respektive MTH. Stryk de fördelningar som inte längre är möjliga med de spelade korten och se vad som återstår.
Eller för att göra ett långt svar kortare.
När båda följt en gång har du rent statistiskt hamnat i sannolikheten hur två kort fördelar sig slumpmässigt vilket blir något av: x-y, y-x, xy-0, 0-xy dvs 50/50 för 1-1 eller 2-0/0-2.
Sidor
Fast det Anders säger stämmer inte, utan proportionerna mellan 1-3/3-1 och 2-2 är oförändrat 8:6 efter att båda spelare följer i första stick om man förutsätter att de spelar hackorna slumpvis.
I fallet där man saknar 2345 och motståndarna följer med 2 och 3 så har man antingen att det sitter 1-3 med singel 2 ** och den andra spelaren väljer att spela 3:an från 345** eller att det sitter 3-1 med singel 3 ** och den andra spelaren väljer att spela 2:an från 245**. Det är två distinkta sitsar men då den med trekortsfärg inte spelade 4:an eller 5:an så faller 2/3 av sannolikheten bort.
Sitter det 2-2 så har man två sitsar (24-35 eller 25-34) men varje spelare har från dessa händer valt att lägga tvåan och trean, vilket de gör i hälften av fallen och kombinerar man dessa två val så följer de med 2:an och 3:an i en fjärdedel av fallen.
Det man då får är att 1-3/3-1 har (2/3) och 2-2 har (2/4) vilket är exakt samma proportioner som innan båda händerna spelade på i första stick: 8:6
Sidor
Jag synar all-in.
Sidor
Får du nog plocka fram kortleken, två kort är nu givna efter första stick har spelats. Återstår två kort vars fördelning är okänd om man enbart pratar om slumpen för kortfördelning och helt bortser från höga/låga, markeringar etc. Dessa två kort kan sitta båda hos MTV eller båda hos MTH eller ett kort hos vardera motståndaren med två fall där antingen MTV eller MTH har det högre av de två saknade korten.
Ett av de fyra 1-3 fallen respektive ett av de fyra 3-1 fallen har uteslutits då ju den andra motståndaren bevisligen hade det kortet.
Själva verket är vi ned på ett enda av 1-3 respektive 3-1 fallen då ju kortet hos den som hade ett från början är givet.
Sidor
Hade du inte fått veta vilket kort de följer med skulle resonemanget om oförändrad fördelning hålla.
Men jag ogillar när motståndarna följer utan att visa sitt kort.
Sidor
Anders resonemang bygger på ett felaktigt antagande, vart och ett av de 16 möjliga utfall är inte alls lika sannolikt och därför blir det fel redan när det gäller de ursprungliga sannolikheterna: 50,7%; 37,5%; 12,5% i stället för de rätta 49,7%; 40,7%; 9,6%.
Lars-Görans fråga är lätt att besvara, man använder sig av ett elementärt begrepp från sannolikhetsteori nämligen betingad sannolikhet.
Pr(”3-1”/”icke4-0”) = 55%
Pr(”2-2”/”icke4-0”) = 45%
Sidor
Att Conny har rätt och Anders fel kan kännas ointuitivt.
Enkelt uttryckt beror det på att det val av hackor som de båda spelarna gemensamt kan göra är mer begränsat när det sitter 3-1 än när det sitter 2-2.
Men det finns också anledning att framhålla Olas poäng. Om du t.ex. saknar Qxxx så kommer det, allt annat lika, efter att båda bekänt med hackor att vara odds 12:11 för 2-2.
Sidor
Mer korrekt är att det finns 4 färger i en kortlek och sannolikheten ändras inte av korten du ser.
Det finns fler händer med sitsen 3-1 än 2-2, på 4 färger och 52 kort på 4 spelare.
Svaret blir alltså att det är samma förhållande som det var från början.
Men självklart ändrar jag spelsätt efter korten som spelas.
Sidor
Tack för engagemanget och ursäkta för att jag inte var tydlig i frågeställningen om att det gällde slumpvis lagda oväsentliga kort (med ett eller fler väsentliga kort hos motspelarna går det ju helt enkelt inte att räkna ”slump”, liksom om vi har markerande fi osv).
Jag är övertygad av att Ryszards svar är det korrekta, bl a därför att ursprungsoddsen är de rätta (49,7%; 40,7%; 9,6%.) och inte en funktion av möjliga sitsar. Det intressantaste för mig var att förstå hur den inbördes relationen förändrades (mellan 3-1/1-3 och 2-2 efter att 4-0 visat sig vara noll procent). Dessutom visade det sig att min intuition att förändringen skedde i förhållande till ursprungssannolikhetens storlek, dvs de förändras olika.
Till Lars A vill jag påpeka ”ursprungssannolikheten ändras inte” av kort du ser - men nulägets sannolikhet efter visat kort förändras”. Det visar ju exempelvis ”Ryszards” beräkning.
(redigera: kvoten, förhållandet mellan 3-1/1-3 och 2-2 är 1,352 före vi känner till att 4-0 inte existerar och 1,222 efter, m a o ännu troligare att spela på 3-1 än 2-2)
(följdfråga kan i vissa fall bli: om vi har KJxxx till Exxx, lägger ner ess, båda bekänner och därefter spelar mot KJ och motspelare bekänner. Nu har vi ytterligare info - men då tror jag Anders E hade bra resonemang i sitt första inlägg).
Sidor
Jag är ingen matematiker och jag kanske missförstår dig, men sannolikheten kan visst ändras av korten du ser. (Varför skulle du för övrigt annars ”självklart ändra spelsätt efter korten som spelas”?)
När motspelarna har fyra kort i samma subkategori (i detta fall oväsentliga hackor) förändras inte oddsen när en rond har spelats. När motspelarna har tre likvärdiga hackor och en honnör förändras däremot sannolikheterna, tvärtemot vad du skriver. Din förklaringsgrund (att det finns fler 3-1:or än 2-2:or från start) duger alltså inte. Svaret är väl i stället att söka i antalet permutationer där valet är fritt? (Emotser smisk på fingrarna av matematiker
)
När motståndarna har fyra likvärdiga kort och båda har bekänt finns endast fyra möjliga kombinationer kvar, precis som Anders skriver. När det sitter 3-1 finns det två permutationer av sex där motståndarna lade just de kort de gjorde. När det sitter 2-2 finns det en permutation av fyra där de lade just de kort de gjorde. Alltjämt kvoten 8:6.
När motspelarna har tre likvärdiga hackor och en honnör och båda har bekänt med en hacka första ronden förändras däremot sannolikheterna. När det sitter 3-1 finns det en permutation av två där motståndarna lade just de kort de lade. När det sitter 2-2 finns det en permutation av två där motståndarna lade just de kort de lade. Att kvoten nu är 12:11 och inte 1:1 beror på lediga platser.
Eller?
Sidor
Självklart ändras oddsen efter vilka kort som läggs. Om du har EJTxxxxx till K singel som du spelar. Lägger någon damen sitter det knappast Dxx - x. Ett tydligt exempel på att en av ursprungssitsarna nu kan räknas bort från oddsen - som ändrats.
Ett annat och välkänt begrepp är ”lagen om det begränsade valet” som också är en intressant redovisning hur sannolikheter ändras.
Sidor
Nja det är de möjliga utfallen som förändras ( också det en del av sannolikhet ), det är därför det är bättre att spela på 3-1 om du inte kan dra några andra slutsatser av spelet.
Saknar du QJxx är sannolikheten lite mer än 2/3 att färgen sitter 3-1 om en spelare spelade knekt i första stick och 100% om en spelare spelat damen. Detta eftersom vi kan räkna bort en resp två 2-2 fördelningar - förutsatt att de alltid lägger sitt lägsta.
Sidor
Förhållandet är samma, 49.7/40.7 resp 55/45.
Sidor
De ursprungliga sannolikheterna är:
497420/10400600 = 4,78% (4-0)
2586584/10400600 = 24,87% (3-1)
4232592/10400600 = 40,70% (2-2)
2586584/10400600 = 24,87% (1-3)
497420/10400600 = 4,78% (0-4)
Sannolikheterna är numer:
646646/2704156=11/46=23,91% (2-0)
Det har ändrats. Nej. Nej.1410864/2704156=12/23=52,17% (1-1)
646646/2704156=11/46=23,91% (0-2)
Av de ursprungliga 1+4+6+4+1 möjliga sitsarna återstår 0+1+2+1+0. Att båda motståndarna bekände en gång sållade bort fler ursprungliga 3-1/1-3-sitsar (8->2) än 2-2-sitsar (6->2). Förhållandet mellan 2-2 och 3-1/1-3 har därmed ändrats och sannolikheten för en jämn sits har ökat.
/B
Sidor
Nej, du har fel. Om motståndarna alltid lägger sitt lägsta kort från QJxx så är det odds 12:11 för att det sitter 2-2 om någon lägger J. Detta eftersom QJ-32 är mer sannolikt än Q32-J med oddsen 12:11.
Sidor
Nej. Bayes teorem applicerat på denna situation innebär att när försvaret endast har irrelevanta hackor, så innebär inte det faktum att de båda bekänner att den relativa sannolikheten för de kvarvarande fördelningarna ändras.
Sidor
Ja det stämmer, var tredje 2-2 och var fjärde 3-1 givet dessa förutsättningar.
Sidor
Från 5432 ska vi tydligen saka slumpvis, men från QJ ska vi alltid lägga J?
Sidor
Roligt. Både Björn och jag har rätt fast vi får olika resultat.
Hur kan det vara så?
Vi svarar på två olika frågor!
Jag svarar på frågan vad är sannolikhet för 2-2 respektive 3-1 givet att det inte sitter 4-0 som är lika med sannolikheten för 2-2 respektive 3-1 givet att bägge motståndarna bekänner första gången, medan Björn svarar på frågan vad är sannolikhet för 2-2 respektive 3-1 givet att det bägge motståndarna bekänner första gången, den ena med kortet x och den andra med kortet y.
Om vi bara vet att korten inte är fördelade 4-0 (= bägge bekänner första gången) så är sannolikheten 45% resp. 55% men vi vet mera, vi vet med vilka kort de bekände, detta förändrar sannolikheterna till 48% resp. 52%.
Så det rätta svaret på Lars-Görans fråga är Björns och inte mitt.
Sidor
Nej, jag bara svarade på det felaktiga påståendet om oddsen när man vet att de alltid lägger korten nerifrån.
Sidor
Nej.
Det kanske blir enklare att förstå det orimliga i detta om vi tar ett exempel.
Ni kommer i 7Sp med AK432 till 8765. Oddsen är drygt 40 %. Ni spelar esset och båda bekänner. Nu hävdar ni att det är 52% för 2-2-sits. Det innebär att er storslam i själva verket var 47-procentig, för i samtliga 90% av fallen där det inte sitter 4-0 har ni tydligen 52% chans.
Sidor
Nej, jag hävdar inte att det är 52% sannolikhet för 2-2 sitsen , utan att det är 45% om jag vet att bägge bekände och 48% om jag vet med vilka kort de bekände. Så storslammen har 0,9*45% = drygt 40% chans att gå hem.
Sidor
/B
Sidor
Wow, inte mindre än 2½ pudlar i den här tråden, och vi är bara på sidan 2
Att vinna argument på the Internet är inte vanligt, det ska till en jurist för detta, bra jobbat Per-Ola!
Sidor
Efter som vi är nördar och de som tröttnat har gjort det för längesen, så vi kan köra lite till. Oddsen ändrar sig hela tiden när något sker i spelet! (därav min orginalfråga jag hade svårt för)
Intressant i sammanhanget (men kanske ingen nyhet för er) är: Spelföraren tar sig in i första stick och ska behandla KJxxx - Exxx. Lägger ner ess (båda bekänner lågt), spelar mot KJ, MTV bekänner lågt. Vem har damen? NU står vi vid det riktiga och slutliga beslutet. MTH har elva dolda kort, MTV har bara 10. Enligt principen att leta efter ett specifikt kort bland två olika mängder, hittar man troligast kortet i den största mängden. I vårt beslutsögonlick är det 11/21-delar för MTH mot 10/21-delar för MTV. Det är därför vi lärt oss toppa. Ursprungliga 2-2-sitsen (37,5%) har nu slagit över till 52,4!
Egentligen inget konstigt.
Men vid första tanke verkar det inte klokt att på samma giv skulle oddset för 2-2 kunna förändras till 66,6%. Nämnligen om vi ställer oss i beslutläget maska/toppa i tolfte stick. MTH har två okända och således oddset 2/3 att inneha damen.
Observera! att detta inte säger emot 7sp-given med EKxxx - xxxx. Vad det beror på är i vilket läge du räknar hemgångschansen.
a) orörda kort (2-2 40,7%)
b) en spaderrond då båda bekände ökade chansen
c) och ytterligare större chans när en motspelare bekänt (men inte den andre), nu över 50%, dessutom olika mycket över 50 beroende på när i spelet vi behandlar färgen.
Sidor
Ush, vad fel man kan tänka.
Dags för en pudel igen.
Jag är tillbaka till 45% för 2-2 och 55% för 3-1. Att vetskapen om vilka kort de bekände med i första ronden (givet att de leder de slumpmässigt) skulle ändra sannolikheterna var ju helt galet, jag borde veta bättre.
Sidor
Oddsen 12:11 för 2-2 kontra 3-1 med Dxxx borta i en färg gäller ju enbart om fi spelar ut just den färgen och skulle de nu göra det i en sidofärg i ett färgkontrakt så tror jag att 3-1 är en klar favorit över 2-2.
Men principen är helt korrekt, bara det att oddsen kommer att vara mer åt 11:10 eller liknande.
Sidor
I trådstarten står det ingenting om vilka fyra kort som saknas, bara kortens fördelning nämns.
Sidor
Ett måhända bekvämare sätt att se det när ett antal kort gått är att eftersom varje enskild 3-1sits är ca 6,2 procent och varje 2-2 ca 6,8 så återstår (när båda följde första gången och Väst en andra gång) en möjlig 3-1sits och en möjlig 2-2sits, dvs 6,8 för att fälla damen och 6,2 för att maska.
Om detta är ett helt felaktigt synsätt och hånfullt förkastas av statistiker och sannolikhetsförståsigpåare vet jag inte, men resultatet blir väldigt nära vissa experters 12 mot 11.
Sidor